Lữ Xuân Minh tự nhiên rất quen thuộc với các số Carmichael trong lý thuyết số học, nhưng cũng biết rằng sau khi ba nhà toán học từ nước ngoài, bao gồm cả Pomeranski, đã chứng minh được sự tồn tại của vô số số Carmichael cách đây chín năm, vấn đề về khoảng cách giữa các số này vẫn chưa được giải quyết. Dù là ở trong nước hay ở nước ngoài, rất nhiều nhà toán học nghiên cứu lý thuyết số học đã từng tìm hiểu về vấn đề này. Thật không may, cuối cùng họ vẫn không đạt được kết quả nào đáng kể. Vì vậy, khi nhìn thấy tiêu đề bài báo của Từ Nguyên, anh ta không biết liệu người này có thực sự đưa ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề này hay chỉ là một phương pháp sai lầm. Nếu là trường hợp thứ hai, dù có hơi đáng tiếc nhưng cũng là điều bình thường; còn nếu là trường hợp thứ nhất, thì đó chắc chắn sẽ là một tin tức lớn trong giới lý thuyết số học. Đặt những suy nghĩ đó sang một bên, anh ta tập trung vào việc đọc nội dung chi tiết của bài báo. Tuy nhiên, theo thời gian trôi qua, những giọt mồ hôi nhỏ li ti trên trán Lữ Xuân Minh càng ngày càng nhiều hơn. Anh ta nhíu mày, khuôn mặt trông rõ ràng đang thể hiện sự khó xử. Mặc dù không muốn thừa nhận, nhưng sự thật là anh ta hoàn toàn không hiểu được quá trình chứng minh trong bài báo đó, chứ đừng nói đến việc xác định liệu lập luận có đúng đắn hay không. Đến lúc này, anh ta cuối cùng cũng hiểu tại sao Từ Nguyên lại được Giáo sư Tang yêu mến đến vậy. Dù phương pháp được sử dụng trong bài báo có chính xác hay không, ít nhất thì nó đã vượt xa trình độ của anh ta trong lĩnh vực lý thuyết số học. Đối mặt với tình huống khó xử này, anh ta đành phải quay đầu nhìn về phía Đường Thời Hoàng và gọi nhỏ: “Thầy ơi, xin thầy đến đây một chút.” Nghe thấy vậy, Đường Thời Hoàng lại dừng công việc đang làm, nhìn Lữ Xuân Minh một cách không kiên nhẫn và hỏi: “Có chuyện gì vậy?” “Bài báo của em út kia… em không hiểu được.” Lữ Xuân Minh cố gắng trả lời một cách thành thật. Nhưng câu trả lời này khiến Đường Thời Hoàng rất tức giận. Chỉ trong chốc lát, ông ta đứng dậy từ ghế và la mắng Lữ Xuân Minh một cách dữ dội, không hề giữ lại mặt mũi trước mặt người khác.

“Không hiểu à?”

“Bình thường tôi luôn yêu cầu các bạn chú ý lắng nghe và rèn luyện tư duy logic, thường xuyên đến thư viện trường để nghiên cứu tài liệu. Nhìn xem, bây giờ có ai còn giống một sinh viên cao học không nữa.”

Đường Thời Hoàng biết rằng tài năng của Từ Nguyên không thể so sánh với những sinh viên đại học bình thường, nhưng dù sao thì anh ta cũng chưa từng học qua các khóa học đại học có hệ thống. Lý thuyết là dù nội dung bài luận có hơi khác thường một chút, với bằng cấp sinh viên cao học của Lữ Xuân Minh, anh ta lẽ ra không nên gặp khó khăn trong việc hiểu nội dung đó mới phải.

Vấn đề là Lữ Xuân Minh dù sao cũng là người đã tuyển Từ Nguyên làm sinh viên cao học của mình; nếu bây giờ ngay cả bài luận của một sinh viên đại học mới vào năm nhất cũng không thể hiểu được, điều đó chắc chắn sẽ cho thấy trình độ của ông ta rất hạn chế.

Dù biết rằng mình sẽ phải bị chỉ trích, nhưng trước mặt những sinh viên tương lai này, Lữ Xuân Minh vẫn cảm thấy không thể chịu đựng nổi. Anh ta đành phải trả lời một cách oan ức: “Nhưng bài luận của em Từ Nguyên là về việc chứng minh khoảng cách giữa các số Carmichael vô hạn…”

“Cái gì cơ?”

Đường Thời Hoàng vốn đang tức giận, nhưng khi nghe câu này, khuôn mặt anh ta bỗng nhiên đông cứng lại.

“Vấn đề về số Carmichael ư?”

Anh ta lẩm bẩm điều đó, rồi đột nhiên nhớ ra điều gì đó và vội vàng bước về phía Lữ Xuân Minh.

Lữ Xuân Minh biết rằng Từ Nguyên đã thử nghiên cứu về vấn đề số Carmichael, nhưng ông ta cho rằng đây không phải là lĩnh vực phù hợp với Từ Nguyên; tiếp tục đầu tư quá nhiều công sức vào đó chỉ là lãng phí thời gian mà thôi. Nếu không có nền tảng toán học vững chắc và tài năng xuất chúng, thì hoàn toàn không thể chứng minh được điều đó một cách đầy đủ.

Ông ta tưởng rằng Từ Nguyên đã từ bỏ vấn đề này từ lâu rồi, không ngờ lại vẫn tiếp tục nghiên cứu, thậm chí còn viết thành một bài luận nữa.

Trong lúc suy nghĩ nhanh chóng, một giả thuyết táo bạo bất ngờ xuất hiện trong đầu ông ta… Liệu có thể là…

Gần mười năm trời, vấn đề số học này vẫn chưa được giải quyết. Việc Lữ Xuân Minh không hiểu được cũng là điều dễ hiểu, chỉ là anh ta không ngờ đối phương lại nói thẳng ra như vậy.

Thật sự rất can đảm.

Lúc này, trong mắt Đường Thời Hoàng chỉ còn lại bài báo khoa học ấy; anh ta ngồi xuống và nhìn chằm chằm vào màn hình.

Khi đọc tiêu đề của bài báo, anh ta cũng giật mình.

Mặc dù trong lòng anh ta rất mong đây là sự thật, nhưng lý trí lại bảo rằng điều này quá khó tin.

Tạm thời kìm nén những cảm xúc ấy, anh ta tập trung đọc kỹ bài báo toán học này.

Nội dung bài viết rất chuẩn mực, cách trình bày cũng không có gì sai sót; dường như không thể nào là do một sinh viên mới nhập học viết ra được.

Ngay cả các bài luận tốt nghiệp của sinh viên năm cuối trong khoa, cũng không thể sánh kịp với bài viết này.

Theo thời gian trôi qua, biểu cảm của Đường Thời Hoàng càng trở nên nghiêm túc và chăm chỉ; anh ta dường như như một người du hành trong sa mạc cuối cùng đã tìm thấy ốc đảo xanh, và đang hấp thụ hết những thông tin quý báu trong bài báo.

Không biết đã mất bao lâu, cuối cùng anh ta cũng có phản ứng.

Anh ta vươn tay ra và nói vài từ: “Giấy viết và bút.”

Lữ Xuân Minh, quả thực là nghiên cứu sinh của Đường Thời Hoàng, nghe thấy vậy liền lập tức lấy giấy và bút ở bên cạnh đưa cho anh ta.

“Đây, thầy ơi.”

Hai người phối hợp với nhau rất tốt.

Đường Thời Hoàng nhận lấy giấy và bút, đẩy chiếc bàn phím sang một bên, sau đó cúi đầu bắt đầu kiểm tra nhanh chóng các công thức trong bài báo; quá trình đó khiến không khí xung quanh trở nên căng thẳng.

Lữ Xuân Minh không dám thở mạnh, sợ làm phiền đến thầy mình.

Còn Từ Nguyên thì vẫn bình tĩnh chờ đợi; anh ta hoàn toàn tự tin vào quá trình chứng minh của mình.

Dù kiểm tra theo cách nào đi nữa, kết quả cũng chỉ có một:

Hoàn toàn đúng.

Một thời gian sau, Đường Thời Hoàng cuối cùng cũng ngừng tính toán, ngửa người ra sau và không che giấu niềm vui mãnh liệt trên khuôn mặt mình.

Anh ta cứ thì thầm không ngừng trong miệng:

“Đúng rồi.”

“Kết quả cuối cùng là đúng.”

“Thật sự rất tinh vi – bằng cách cải tiến phương pháp lọc để chứng minh khoảng cách giữa các số Carmichael.”

“Đây chắc chắn là một thành tựu lớn trong lĩnh vực số học.”

Lữ Xuân Minh nghe những lời này, lòng bỗng nhiên trào dâng cảm xúc mãnh liệt và không khỏi nhìn về phía Từ Nguyên bên cạnh mình.

“Lại khiến cho ngay cả giáo viên cũng có phản ứng như vậy…”

“Chẳng lẽ thật sự đã có tiến triển trong việc chứng minh vấn đề khoảng cách giữa các số Carmichael…?”

Đường Thời Hoàng nhanh chóng lấy lại bình tĩnh, kiểm soát cảm xúc của mình và từ từ quay người lại.

Nhưng anh ta không nhìn về phía Từ Nguyên ngay lập tức, mà lại nhìn vào Lữ Xuân Minh và nói bằng giọng điệu nhẹ nhàng: “Lúc nãy giáo viên đã hiểu lầm em rồi; việc Từ Nguyên không thể hiểu được bài báo này là điều bình thường.”

Lữ Xuân Minh nghe vậy, dù vẫn cảm thấy có gì đó kỳ lạ, nhưng nghĩ rằng mình sẽ không bị chỉ trích nữa thì tâm trạng đã tốt lên rất nhiều.

Ngay lập tức, anh ta nói: “Là do em chưa chăm chỉ lắng nghe lời dạy của giáo viên.”

Thế nhưng, chưa kịp vui mừng lâu, giọng nói của Đường Thời Hoàng lại vang lên:

“Em hãy đi rót nước cho Từ Nguyên trước đi.”

“Vâng, giáo viên.” Lữ Xuân Minh đáp lại một cách vui vẻ.

Vừa mới bước đi hai bước về phía máy uống nước, anh ta bất ngờ thấy giáo viên mình tự mình kéo một chiếc ghế đến cho Từ Nguyên và mỉm cười mời Từ Nguyên ngồi xuống bên cạnh.

“Hãy ngồi đây và kể cho giáo viên nghe về bài báo của em đi.”

“Thực ra, sau khi đọc những tài liệu mà Giáo sư Tang đã gửi cho tôi, tôi đã luôn cố gắng tìm cách chứng minh vấn đề khoảng cách giữa các số Carmichael…” Từ Nguyên nghe vậy liền ngồi xuống và bắt đầu kể về quá trình chứng minh của mình: “Cho đến khi tôi tìm thấy ý tưởng trong kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế; bằng cách cải tiến phương pháp lọc có trọng số của ông Chen Jingrun, cuối cùng tôi đã hoàn thành việc chứng minh vấn đề đó.”

“Kết luận rằng khi n > 3300 thì luôn tồn tại một khoảng cách giữa n và 2n đúng bằng các số Carmichael.”

“Vì nhà không có máy tính, nên sau khi khai trường, tôi đã tranh thủ thời gian rảnh rỗi trong quá trình huấn luyện quân sự để hoàn thành bài báo này tại phòng máy tính của trường.”

Đường Thời Hoàng vốn đã bị chứng minh trong bài báo làm cho ngạc nhiên, và giờ đây, sau khi nghe Từ Nguyên kể lại, anh càng thấy điều đó thật khó tin.

Anh vẫn nhớ sau kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế, Hồ Trí Vĩ từng kể với anh về việc Từ Nguyên là người cuối cùng nộp bài thi.

Chắc chắn ai cũng không ngờ rằng Từ Nguyên đã chứng minh được vấn đề về khoảng cách giữa các số Carmichael ngay trên giấy thi… Và quan trọng hơn, anh ấy đã thành công.

Chính sự kiện này đã thực sự là một phép màu.

“Dám chứng minh những bài toán toán học khó khăn ngay trong kỳ thi… Có lẽ trong suốt nhiều kỳ Olympics Toán học Quốc tế qua, chưa từng có ai làm được như bạn.”

“Bạn thực sự đã mang đến cho tôi một niềm vui lớn lao; cả lĩnh vực Lý thuyết Số học đều cảm thấy bất ngờ.”

“Bạn biết không, Từ Nguyên…”

“Khi bài báo của bạn được công bố, chắc chắn nó sẽ gây ra một làn sóng xôn xao lớn.”

“Các số Carmichael vốn đã có mối liên hệ mật thiết với an ninh thông tin trong lĩnh vực mật mã học; hơn nữa, phương pháp chứng minh của bạn có thể cũng áp dụng được cho những khoảng cách nhỏ hơn nữa.”

“Ai có thể ngờ rằng một vấn đề trong lĩnh vực Lý thuyết Số học đã bị bỏ ngỏ suốt chín năm, lại được một sinh viên mới nhập học giải quyết triệt để?”

Lữ Xuân Minh đang cầm ly đi đến gần, nghe xong câu nói cuối cùng của người thầy mình, anh bỗng ngẩn ngơ.

Theo hiểu biết của anh, việc Từ Nguyên có thể thúc đẩy tiến độ chứng minh đã là một dấu hiệu của một thiên tài toán học xuất chúng rồi; thế mà anh ta lại thực sự giải quyết được phần cuối cùng của bài toán về các số Carmichael… Điều này thực sự là không thể tin được.

Gần như vô thức, anh buột miệng hỏi: “Em trai út ơi, em thực sự đã giải quyết được vấn đề cuối cùng liên quan đến các số Carmichael sao?”

“Tài năng toán học của cậu ấy còn vượt trội hơn em nhiều; nếu không có gì thay đổi, thành tựu tương lai của Từ Nguyên chắc chắn sẽ cao hơn em nhiều.” Đường Thời Hoàng nhìn Lữ Xuân Minh một cái, rồi vội vàng nói: “Nhanh lên, mang nước đến đây đi!”

“Được rồi, thầy ơi.”

Sau khi hiểu rõ tình hình, Lữ Xuân Minh không hề để tâm đến thái độ hai mặt của vị giáo viên đó, ngược lại còn trở nên quan tâm và ân cần hơn với Từ Nguyên.

Với một người lớn tuổi như Giới toán học trong tương lai, bây giờ không xây dựng mối quan hệ tốt thì khi nào mới làm được chứ?

“Em uống nước đi, có muốn ăn thêm gì không?”

“Không cần phiền thầy đâu.” Từ Nguyên cũng hơi ngạc nhiên, vội vàng từ chối.

Trong suốt thời gian tiếp theo, Đường Thời Hoàng đã đưa cuộc trò chuyện trở lại đúng hướng. Sau một chút suy nghĩ, ông nói: “Tài năng của em trong viết luận văn thực sự khiến tôi ngạc nhiên; ngoại trừ vài vấn đề về cách trình bày, em hoàn toàn không cần phải chỉnh sửa gì cả.”

“Hôm nay tôi sẽ làm việc thêm giờ để hoàn thành luận văn cho em, ngày mai em đến lấy nhé.”

“Vậy thì xin cảm ơn Giáo sư Tang.” Từ Nguyên gật đầu cảm ơn.

Sau khi giải quyết xong việc luận văn, anh mới nhận ra đã gần 1 giờ chiều rồi. Vì không thể từ chối sự nhiệt tình của Lữ Xuân Minh, anh đành cùng anh ta đến khu ăn uống của trường để ăn trưa, và Lữ Xuân Minh tự chi trả tiền ăn.

Còn Đường Thời Hoàng thì rõ ràng không còn hứng thú với bất cứ chuyện gì khác nữa; ông nói rằng mình sẽ làm việc thêm giờ để chỉnh sửa định dạng luận văn. Anh chỉ đưa cho Lữ Xuân Minh một ít tiền để anh ta mua đồ ăn cho mình.

Trong khi đó, tại ký túc xá nam sinh của Khu nhà Zijin, Lý Chấn Á, Vương Hải Đào và Lưu Dương ba người đang bàn tán về Từ Nguyên, đoán xem anh ta đã đi làm gì mà vẫn chưa trở về đến tận bây giờ.