“Câu đề số học này có một trường hợp đúng yêu cầu của số Carmichael; thật là thú vị.”

Từ Nguyên nhìn vào công thức mình viết trên giấy bạc, trong lòng tự hỏi và cảm thấy rất hứng thú.

Ông đã tìm hiểu về số Carmichael khi đọc tài liệu. Theo định nghĩa, một số hợp chẵn n được gọi là số Carmichael nếu đối với mọi số nguyên tố b không chia hết cho n, thì b^n – b luôn là bội số của n. Ngoài ra, theo định lý nhỏ Fermat, tất cả các số nguyên tố đều có tính chất này; do đó, số Carmichael còn được gọi là “số nguyên tố giả”.

Vào năm 1994, ba nhà toán học quốc tế đã chứng minh rằng có vô số số Carmichael và công bố kết quả nghiên cứu trên tạp chí toán học hàng năm. Tuy nhiên, việc xác định khoảng cách giữa các số Carmichael này vẫn còn là một thách thức lớn và đến nay vấn đề này vẫn chưa được giải quyết.

Nhiều người cũng đã nghiên cứu về số Carmichael, nhưng vẫn chưa đạt được nhiều tiến triển đáng kể. Bây giờ, khi có thời gian rảnh rỗi và lại gặp phải vấn đề liên quan đến số Carmichael, ông quyết định thử tìm hiểu và giải quyết nó. Dù sao, việc thách thức những bài toán khó như thế này cũng chính là cách để kích thích tư duy và phát huy tiềm năng của bản thân.

Thời gian trôi qua từng phút từng giây…

Đôi lông mày của Từ Nguyên dần nhăn lại, có vẻ như ông đang gặp phải trở ngại. Cho đến khi còn năm phút nữa là hết hạn nộp bài, ông mới hoàn thành việc tính toán. Trong lòng, ông tự nhận xét: “Quả thực đây là một bài toán khiến ngay cả các nhà toán học cũng phải đau đầu; muốn giải quyết nó thật sự rất khó khăn.”

Mất hơn một giờ đồng hồ để tính toán, nhưng thanh progres vẫn chỉ ở mức một con số; điều này chứng tỏ mức độ phức tạp của bài toán này.

——

**Nhiệm vụ:** Chứng minh về số Carmichael

**Ngành:** Toán học

**Tiến độ:** 8%

**Kết quả:** Chưa hoàn thành

“Ít nhất thì thanh progres vẫn đang tăng, điều đó chứng tỏ hướng suy nghĩ của tôi là đúng đắn.”

Rời khỏi trạng thái tập trung cao độ, Từ Nguyên nhìn vào màn hình đang dần biến mất trước mắt và thầm nghĩ rằng sau này sẽ tìm cơ hội hỏi ý kiến của Qi Tongxiang. Đúng lúc đó, chuông báo hết giờ nộp bài vang lên.

……

Sau khi hoàn thành bài thi và rời khỏi phòng thi, Lâm Hạo Minh nhanh chóng đi theo họ. Cả hai cùng nhau đi xe trở về khách sạn. Trên đường, không ai trong số họ đề cập gì đến kết quả bài thi, cho đến khi gặp lại người dẫn đoàn.

“Buổi sáng thế nào rồi, Từ Nguyên? Độ khó của bài thi năm nay ra sao?” Người dẫn đoàn Trương Ngọc Huỳnh, đã lo lắng chờ đợi cả buổi sáng, vội vàng tiến lên khi thấy các thành viên xuống xe và hỏi ngay Từ Nguyên.

Từ Nguyên trả lời một cách tự tin: “Cũng ở mức bình thường thôi; độ khó không quá cao.”

“Tốt lắm, thì chúng ta đi ăn trước đi.” Trương Ngọc Huỳnh thở phào nhẹ nhõm và nói. Tuy nhiên, anh ta không để ý đến phản ứng của những người xung quanh, đặc biệt là sự nhìn nhau giữa Lâm Hạo Minh và Lý Minh Dương – họ có vẻ muốn nói gì đó nhưng lại thôi. Cuối cùng, họ chỉ im lặng đi theo đoàn.

Suốt buổi sáng, tất cả họ đều phải suy nghĩ rất nhiều để giải bài thi. Mặc dù độ khó không được coi là quá cao, nhưng chắc chắn không hề dễ dàng như Từ Nguyên nói. Rõ ràng, việc cho rằng độ khó vừa phải chỉ đúng với bản thân Từ Nguyên mà thôi.

Dù sao thì kỳ thi đầu tiên đã kết thúc; việc bàn luận về độ khó bây giờ cũng chẳng có ý nghĩa gì. Điều quan trọng hơn là phải chuẩn bị tốt cho kỳ thi ngày mai. Buổi chiều được dành để ôn tập; các thí sinh có thể ở lại khách sạn và trao đổi với nhau.

Sau bữa ăn, Trương Ngọc Huỳnh yêu cầu Từ Nguyên giải thích quy trình giải bài của mình, để mọi người có thể hiểu rõ hơn về kiểu bài này, cách giải và phương pháp làm bài, hy vọng điều đó sẽ giúp họ làm bài thuận lợi hơn vào ngày mai.

“Ba câu hỏi trong kỳ thi năm nay đều khá hay; ngoài những nội dung liên quan đến hàm lượng tam giác ở phần đầu, phần lý thuyết số cuối cùng còn xoay quanh số Carmichael nữa.”

“Để giải đúng những bài này, điều quan trọng nhất là tìm được hướng giải.”

“Đây là quy trình suy nghĩ và lời giải chi tiết của tôi; các bạn có thể xem qua và so sánh nhé.”

Trong phòng khách sạn, Từ Nguyên viết lại đáp án của mình và đưa cho Lâm Hạo Minh cùng những người khác; họ cùng nhau trao đổi bài giải với nhau.

Sau khi những người khác đọc kỹ bài giải, biểu cảm của họ đều rất khác nhau. Có người mỉm cười vui mừng, có người lại cau mày lo lắng. Đối với câu trả lời của Từ Nguyên, trong suy nghĩ của họ, đó chính là đáp án đúng nhất; những ý kiến khác biệt chỉ cho thấy họ đã mắc sai lầm.

“Cách giải câu đầu tiên của tôi giống hệt với anh Nguyên, chắc chắn sẽ được điểm cao.”

“Thật không ngờ lại dùng sai một định lý…”

“Nếu không phải anh Nguyên nhắc nhở, tôi cũng không biết đó là số Carmichael…”

“Và cũng không biết mình sẽ bị trừ bao nhiêu điểm…”

Từ Nguyên lắng nghe cuộc thảo luận của mọi người, rồi chợt để ý thấy Lâm Hạo Minh bên cạnh mình có vẻ mặt tái nhợt. Anh vội vàng hỏi: “Có chuyện gì vậy? Tại sao lại trông buồn thế?”

“Anh Nguyên ơi…”

“Tôi e là mình đã làm sai câu đố thứ hai về tập hợp…” Giọng Lâm Hạo Minh run rẩy khi trả lời. Nghe thấy điều này, Trương Ngọc Huỳnh cũng cau mày.

Kỳ thi buổi sáng chỉ gồm ba bài tự luận; nếu làm sai một câu, người đó sẽ mất tới 21 điểm, và thứ hạng sẽ bị kéo xa so với các bạn khác. Nếu ngày mai không thể thể hiện xuất sắc, thì việc giành huy chương vàng coi như không còn cơ hội nữa. Là những sinh viên tham gia cuộc thi, mọi người đều hiểu rõ tâm trạng của Lâm Hạo Minh và bắt đầu an ủi anh.

“Không chắc là sẽ mất hết điểm đâu; chỉ trừ vài điểm thôi thì cũng không sao đâu.”

“Đừng nghĩ quá nhiều về chuyện đó.”

“Đúng rồi, Hạo Minh ạ, ngày mai hãy cố gắng hết sức thôi.”

Nhưng lúc này, Lâm Hạo Minh dường như không thể lắng nghe những lời an ủi đó, anh lắc đầu nói: “Tôi chắc chắn rằng cách suy luận của mình hoàn toàn khác với anh Nguyên.”

Nghe thấy điều này, Từ Nguyên cũng cảm thấy ngạc nhiên; theo như những gì anh biết về năng lực của Lâm Hạo Minh, anh ấy không nên mắc phải lỗi như vậy mới đúng. Hơn nữa, câu đố về tập hợp đó lại là câu đơn giản nhất trong số ba câu. Nghĩ đến đây, anh nói: “Mỗi câu đều có nhiều cách giải khác nhau; trước hết, hãy viết ra quá trình chứng minh của mình đã.”

……

“Được rồi, anh Nguyên.”

Lâm Hạo Minh bỗng chốc tỉnh táo lại, vội vàng cầm bút lên và bắt đầu viết trên giấy ghi chép.

Những học sinh tham gia cuộc thi như họ, vốn đã vào vòng chung kết, luôn nhớ rất rõ các bài toán mình vừa giải lúc sáng nay; phải mất khoảng hơn mười phút họ mới hoàn thành việc ghi lại toàn bộ quy trình giải bài.

Với vẻ lo lắng, họ đưa bản ghi nháp đó cho Từ Nguyên. Khi nhận lấy tờ giấy, Từ Nguyên nhìn vào và ngay lập tức nhận ra rằng quy trình chứng minh của Lâm Hạo Minh thực sự khá phức tạp. Tuy nhiên, sau khi phân tích kỹ lưỡng, anh ta nhận ra rằng dù cách tiếp cận của Lâm Hạo Minh có hơi phức tạp hơn một chút, nhưng vẫn đủ để giải đúng bài toán. Đó vẫn là đáp án đúng.

Mỉm cười nhẹ, Từ Nguyên an ủi người kia: “Đừng lo, bạn chỉ sử dụng một phương pháp chứng minh hơi phức tạp mà thôi… Bạn không sai đâu.” Nghe vậy, biểu cảm của Lâm Hạo Minh lập tức sáng lên: “Tuyệt vời quá! Tối nay chắc mình sẽ ngủ ngon được rồi.”

“Chỉ cần không sai là tốt rồi. Các bạn hãy chuẩn bị kỹ lưỡng vào buổi chiều để giành chiến thắng trong trận đấu cuối cùng này vào ngày mai nhé.” Trương Ngọc Huỳnh nghe họ nói suốt một lúc, và giờ đây cũng đã đến bên cạnh, mặt đầy nụ cười; trong lòng anh ta cũng thở phào nhẹ nhõm. Thông thường, những việc như thế này lẽ ra phải do anh ta, với tư cách là trưởng đội, đảm nhận, nhưng vì có Từ Nguyên trong đội, anh ta đã tiết kiệm được rất nhiều công sức. Đặc biệt là mỗi khi nhìn thấy vẻ tự tin mãi mãi trên khuôn mặt của Từ Nguyên, anh ta lại cảm thấy yên tâm hơn bao giờ hết… Anh ta bắt đầu hy vọng rằng năm nay, đội của mình có thể đạt được kết quả tốt nhất trong cuộc thi toán học cấp tỉnh.

Cầu mong mọi người hãy theo dõi và ủng hộ chúng tôi nhé!