Một trong những hướng tiếp cận quan trọng khi nghiên cứu một phương trình là tìm hiểu về đặc tính của nó, và lý thuyết về phương trình Monge-Ampere cũng không ngoại lệ.

Cho đến nay, các nhà toán học chủ yếu tập trung vào việc nghiên cứu về sự tồn tại, tính duy nhất và độ mịn của nghiệm giải của phương trình.

Trong đó, tính tồn tại và tính duy nhất đã được chứng minh rõ ràng.

Còn đối với việc nghiên cứu về độ mịn của nghiệm giải, công việc này vẫn còn dừng lại ở giai đoạn nhiều năm trước, tức là khi hai khu vực có tính đầy đặn nhất quán và hàm mật độ có độ mịn cao thì nghiệm giải tối ưu cũng sẽ có độ mịn tương ứng.

Trong đó, có hai điều kiện thiết yếu cần được đáp ứng.

So với việc chứng minh tính tồn tại và tính duy nhất của nghiệm giải phương trình Monge-Ampere dưới điều kiện biên tự nhiên, việc nghiên cứu về độ mịn của nghiệm giải vẫn còn nhiều hạn chế.

Độ mịn của nghiệm giải, hay còn gọi là tính đều đặn, thường được dùng để mô tả mức độ mịn của một hàm số.

Nếu một hàm số có độ mịn cao, thì theo định nghĩa toán học, hàm số đó có thể được vi phân vô hạn lần.

Thật đáng tiếc, sau bao năm nghiên cứu, vẫn chưa ai có thể loại bỏ được hai điều kiện thiết yếu này.

Việc nghiên cứu cần thực hiện đối với phương trình Monge-Ampere chính là chứng minh một cách chắc chắn về độ mịn của nghiệm giải.

Nếu thành công, điều này sẽ là một bước tiến vô cùng lớn đối với phương trình Monge-Ampere, tương đương với việc mở rộng phạm vi áp dụng của một định lý ra nhiều lĩnh vực khác nhau, và cũng sẽ góp phần thúc đẩy nghiên cứu về các phương trình vi phân parabolic.

Tuy nhiên, việc loại bỏ hai điều kiện này không hề dễ dàng; quá trình nghiên cứu đòi hỏi nhiều phép tính phức tạp, cùng với những ý tưởng và suy luận sáng tạo.

Vào thứ Sáu ngày 15 tháng 10 năm 2004, tại Đại học Qinghua, trong phòng thảo luận, Từ Nguyên đang ngồi cúi đầu trên bàn, tập trung cao độ; xung quanh anh ta là những tờ giấy ghi đầy công thức toán học. Nếu nhìn sang bên cạnh, có thể thấy Trần Vũ Nhàn – người vẫn buộc mái tóc thành bím lệch – đang ngồi bên cạnh chiếc máy tính, dường như đang chỉnh sửa bản tin của mình; tuy nhiên, trong suốt một phút, có đến 40 giây anh ta liên tục nhìn về phía Từ Nguyên. Những ngày gần đây, Từ Nguyên không đến thư viện mà luôn ở lại trong phòng thảo luận riêng dành cho anh ta tại khoa. Thỉnh thoảng, Trần Vũ Nhàn cũng đến để cùng học với anh ta, nhưng mỗi lần như vậy, hiệu quả học t

“Không lạ gì mà giáo sư Đường trước đây lại khuyên tôi như vậy; việc chứng minh hoàn toàn tính liên tục của phương trình quả thực không hề dễ dàng.”

Lúc này, Từ Nguyên vô thức nắn nát những bản thảo đã viết xong thành một khối, và khi nghĩ về những lời Đường Thời Hoàng từng nói trước đó, anh cảm thấy rất ngẫm ngợi. Nhất là khi nhìn vào màn hình phía trước, anh không khỏi thở dài.

——

Nhiệm vụ: Chứng minh phương trình Montel-Ampere

Ngành học: Toán học

Tình trạng tiến độ: 5%

Kết quả: Chưa hoàn thành

Sau nhiều ngày nghiên cứu, thanh tiến độ không hề tăng lên; thậm chí còn giảm đi hai lần do sai sót trong tính toán. Nói một cách không phóng đại, chỉ còn lại 5% nữa thôi… Nhưng may mắn thay, nhờ có trạng thái học tập sâu sắc, tư duy của anh mới trở nên nhạy bén và linh hoạt hơn bình thường; nếu không, chỉ với trạng thái bình thường, có lẽ anh sẽ không thể bắt đầu công việc chứng minh này được.

Ngay sau đó, sự tập trung cao độ của Từ Nguyên bị phân tán, và anh thoát ra khỏi trạng thái học tập sâu sắc đó. Nhìn đồng hồ, anh thấy đã gần 12 giờ trưa, nên quyết định tạm thời dừng việc chứng minh để ăn uống trước.

Sau nhiều giờ làm việc trong trạng thái học tập sâu sắc, bụng anh thực sự đói rãi. Nghĩ đến điều này, anh ngẩng đầu lên và gọi Trần Vũ Nhàn đang ngồi bên cạnh máy tính:

“Đi ăn trưa thôi.”

Trần Vũ Nhàn vốn đã không còn bận rộn với bản tin của mình, mà đang lén lút quan sát Từ Nguyên qua màn hình; cô thực sự rất thích vẻ nghiêm túc và chăm chỉ của anh.

Nghe thấy tiếng gọi, cô vội vàng đáp lại:

“Vâng, đi thôi.”

Nhưng vừa nói xong, cô vẫn chưa kịp đứng dậy khỏi ghế thì bỗng nhiên nhớ ra điều gì đó và hỏi thêm:

“Công trình luận văn tốt nghiệp của em đã có hướng đi rõ ràng chưa?”

Cô tự nhiên biết rằng Từ Nguyên đang viết luận văn tốt nghiệp và sắp bắt đầu học tiến sĩ khoa học.

“Chưa hẳn, nhưng chắc chắn sẽ tìm được hướng đi thôi.” Từ Nguyên trả lời một cách tự tin.

Việc chứng minh tính liên tục của phương trình Montel-Ampere quả thực rất khó khăn, nhưng điều đó không làm cho anh nản lòng; ngược lại, thách thức này còn kích thích niềm đam mê và ý chí chiến đấu của anh.

Điều quan trọng là anh ấy có thể nhìn thấy sự thay đổi trong tiến độ công việc; điều này giúp anh ấy cảm thấy yên tâm hơn, không còn lo lắng về việc mình đang “trôi nổi” mà không có hướng đi rõ ràng nữa.

  Dù chỉ tăng được 1% tiến độ sau vài ngày, ít nhất anh ấy cũng biết rằng mình đang tiến triển theo đúng hướng. Chỉ cần được cho thời gian, chắc chắn anh ấy sẽ giải quyết được vấn đề đó.

  “Tôi tin tưởng bạn.”

  Trần Vũ Nhàn nhìn thấy vẻ tự tin trên khuôn mặt của Từ Nguyên và liền mỉm cười, nói ra lời khích lệ đó.

  Ngay sau đó, hai người đóng cửa phòng thảo luận và đi về phía căn tin của trường.

  Không lâu sau đó, khi Từ Nguyên và Trần Vũ Nhàn đến cửa căn tin, họ chuẩn bị bước vào thì bỗng nhiên tiếng chuông điện thoại vang lên.

  “Khoan đã.”

  “Tôi phải nghe máy trước.”

  Từ Nguyên nhìn thấy số điện thoại của mình, liền nói với Trần Vũ Nhàn rằng họ hãy lùi lại một chút để nhường đường, sau đó anh ta lấy điện thoại ra để nghe máy.

  “Giáo sư Từ?”

  Khi cái tên được hiển thị trên màn hình xuất hiện trước mắt, Từ Nguyên cảm thấy hơi ngạc nhiên. Anh ta không ngờ đối phương lại là Giáo sư Từ Đồng Hiển thuộc Khoa Toán học của trường Đại học Khoa học và Công nghệ.

  Nhớ lại sau cuộc họp học thuật về lý thuyết số đó, anh ta chưa bao giờ gặp lại giáo sư Từ nữa. Việc giáo sư gọi điện đến lúc này chắc chắn là có chuyện gì đó quan trọng.

  Nghĩ đến đó, anh ta nhấn nút nghe máy và đặt chiếc điện thoại vào tai mình.

  “Xin chào Giáo sư Từ.”

  Vừa mới nói lời chào lịch sự, anh ta đã nghe thấy giọng nói quen thuộc từ đầu dây bên kia.

  “Tôi không muốn làm mất thời gian của bạn, nên sẽ nói ngắn gọn thôi. Bạn chắc hẳn đã biết về Cuộc thi Mô hình Hóa Toán dành cho sinh viên đại học năm nay, phải không? Vài ngày nữa sẽ đến vòng đánh giá sơ bộ, và khu vực tỉnh chúng ta sẽ tổ chức vòng đánh giá này tại trường Đại học Khoa học và Công nghệ của chúng ta. Vì vậy, tôi muốn mời bạn tham gia làm thành viên ban tổ chức vòng đánh giá sơ bộ này.”

  “Tôi đã liên lạc với Lão Đường rồi, và biết rằng bạn không đăng ký tham gia cuộc thi này.”

  Giáo sư Từ Đồng Hiển thực sự không nói nhiều lời vãn, mà trực tiếp nói rõ mục đích cuộc gọi.

  Từ Nguyên nghe xong cũng cảm thấy ngạc nhiên; anh ta không ngờ mình lại được mời làm thành viên ban đánh giá s

Thậm chí còn liên hệ trước với Đường Thời Hoàng để hỏi xem anh ấy có thời gian đến Đại học Khoa học không.

  Các thành viên ban giám khảo sơ bộ chính là những người nghe các báo cáo bảo vệ luận án của các nhóm đạt giải nhất cấp tỉnh, sau đó lựa chọn những bản báo cáo xuất sắc để gửi đến ủy ban tổ chức quốc gia, từ đó tham gia vào việc đánh giá cho giải quốc gia và cuộc thi Cúp Nhà Xuất bản Giáo dục Đại học.

  Anh ấy tưởng mình đã không đăng ký tham gia cuộc thi mô hình toán học nên sẽ không liên quan gì đến cuộc thi Cúp Nhà Xuất bản Giáo dục Đại học này nữa.

  Nhưng rồi lại phải tham gia theo một hình thức khác.

  Là người giáo viên đầu tiên dạy anh ấy toán học, Quý Đồng Tường trước đây cũng đã đặc biệt tham gia một hội nghị khoa học về số học; vì vậy, khi được gọi điện mời, anh ấy cũng không nỡ từ chối.

  Hơn nữa, trong những ngày gần đây, công việc hoàn thành luận văn tốt nghiệp của anh ấy cũng chưa có tiến triển gì, nên thay vì tiếp tục làm việc, có lẽ đi tham gia sự kiện này cũng là một ý tưởng hay để thay đổi không khí suy nghĩ.

  Tuy nhiên, khi nói ra, anh ấy vẫn tỏ ra khiêm tốn: “Một sinh viên như tôi tham gia làm giám khảo, liệu có phù hợp không?”

  “Những sinh viên khác không thể giải quyết được vấn đề về khoảng cách giữa các số Carmichael; vé đi lại đã được sắp xếp sẵn cho bạn rồi.” Quý Đồng Tường cười nói và không đợi Từ Nguyên từ chối đã cúp máy.

  Nghe thấy tiếng chuông báo cuộc gọi kết thúc, Từ Nguyên cũng chỉ biết cười trừ không thể làm gì khác ngoài việc đồng ý tham gia.

  “Bạn sẽ tham gia làm giám khảo cho cuộc thi mô hình toán học Cúp Nhà Xuất bản Giáo dục Đại học à?” Trần Vũ Nhàn nhìn Từ Nguyên với vẻ ngạc nhiên và hỏi.

  Về cuộc gọi vừa rồi, Từ Nguyên không hề giấu giếm gì với Trần Vũ Nhàn, nên cũng không cần phải che giấu thông tin đó.

  Không do dự gì, anh ấy gật đầu trả lời: “Chỉ là giám khảo ở khu vực thi thôi; một giáo sư mà tôi quen đã mời tôi.”

  “Đó là chuyện tốt mà!” Trần Vũ Nhàn nói với vẻ vui mừng. “Mọi người đều phải đăng ký tham gia cuộc thi, còn bạn thì đã trở thành giám khảo ngay từ đầu… Nếu gặp lại những bạn học cùng trường…” Trần Vũ Nhàn mỉm cười, vui mừng vì cơ hội này dành cho Từ Nguyên.

  “Hãy đi ăn trước đi; bụng tôi đang đói lả rồi.” Từ Nguyên vỗ nhẹ đầu Trần Vũ Nhàn để kết thúc cuộc trò chuyện.

  ……

  Vì đã đồng

Tuy nhiên, chưa kịp bước vào cửa, anh đã nghe thấy tiếng reo hò phấn khích của Lý Chấn Á và Vương Hải Đào bên trong.

“Lưu Dương, em thật là tài giỏi!”

“Tối nay nhất định phải tổ chức ăn mừng thật lớn, để Lưu Dương chi trả tiền ăn nhé.”

“Ký túc xá chúng ta quả là ẩn chứa nhiều tài năng lớn đây.”

Khi bước vào, anh ngay lập tức thấy Lý Chấn Á và Vương Hải Đào đang vây quanh Lưu Dương, khuôn mặt họ đều tràn ngập niềm vui và xúc động.

Lý Chấn Á là người đầu tiên nhìn thấy Từ Nguyên; ngay lập tức anh ta quay lại và háo hức kể cho họ nghe tin tức mới nhất.

“Từ Nguyên, em về đúng lúc lắm! Lưu Dương sẽ chi trả tiền ăn tối nay, chúng tôi đang bàn xem đi ăn ở đâu nhé.”

“Kết quả cuộc thi mô hình toán học đã được công bố rồi à?” Từ Nguyên hỏi.

Từ khi Quý Đồng Tường gọi điện mời anh tham gia ban giám khảo, đến những thành tích hiện tại của nhóm, rõ ràng là kết quả cuộc thi đã được công bố và nhóm của Lưu Dương đã đạt được thành tích khá tốt.

Anh không hề ngạc nhiên; dù sao thì Lưu Dương cũng từng là đồng đội của anh trong đội tuyển quốc gia tham gia các kỳ thi Olympic. Ngay cả khi chỉ có hai đồng đội yếu kém, kết quả cũng sẽ không tồi tệ lắm.

“Hôm nay kết quả mới được công bố; nhóm chúng tôi đã giành được quyền tham gia vòng phản biện đầu tiên,” Lưu Dương nói với vẻ vui mừng.

Trong giọng nói của anh, rõ ràng là niềm tự hào. Anh luôn coi Từ Nguyên là đối thủ cần phải vượt qua; mặc dù khoảng cách giữa họ ngày càng lớn và họ đang thi đấu trên những đường đua khác nhau, nhưng việc nhóm của Lưu Dương đạt được thành tích xuất sắc trong cuộc thi này cũng đã mang lại cho anh một chút an ủi.

Từ Nguyên biết rằng với trình độ của Lưu Dương, nếu nhóm anh có thể tham gia vòng phản biện, chắc chắn họ sẽ được đề cử cho giải thưởng quốc gia – đó quả là một thành tích rất tốt trong cuộc thi cấp này.

Ngay lập tức, Từ Nguyên chân thành chúc mừng Lưu Dương.

“Cảm ơn.”

“Tối nay tôi sẽ chi trả tiền ăn uống, mọi người cùng nhau vui vẻ nhé.”

Lưu Dương nói với vẻ mặt rạng rỡ, giọng điệu rất hào phóng.

Điều này khiến Lý Chấn Á và Vương Hải Đào vô cùng vui mừng và reo hò.

“Yan Zi thật là hào phóng!”

“Vậy thì chúng ta vẫn đến nơi đã đi lần trước nhé, tối nay chắc chắn phải uống vài ly đấy.”

Nghe vậy, dù không muốn phá vỡ không khí vui vẻ, Từ Nguyên vẫn quyết định nói ra sự thật để không làm trì hoãn kế hoạch.

“Lần này có lẽ tôi sẽ không thể tham gia được… Giáo sư Qi từ Đại học Khoa học đã mời tôi tham gia ban giám khảo vòng sơ tuyển cuộc thi mô hình toán học của họ.”

Ngay khi Từ Nguyên vừa nói xong, căn phòng im lặng bao trùm. Sau khoảng hai giây ngập ngừng, tiếng reo lên ngạc nhiên vang lên:

“Trời ạ…”

“Thế là lý do tại sao bạn không đăng ký tham gia cuộc thi… Hóa ra bạn được mời làm giám khảo à!”

“Yuán Ge thật là tuyệt vời!”

Trong khi Lý Chấn Á và Vương Hải Đào rất hào hứng, Lưu Dương lại thở dài trong lòng. Cô tưởng rằng lần này mình sẽ có cơ hội thu hẹp khoảng cách với Từ Nguyên, nhưng hóa ra anh ấy lại trở thành giám khảo của ban tổ chức cuộc thi… Thật là không còn cơ hội so sánh gì nữa.