Thật sự quá cảm động rồi.

Khi các phương tiện truyền thông đều chỉ trích ông McNamara là Bộ trưởng Quốc phòng tệ nhất trong lịch sử, thì ông Lâm Nhân lại công khai tuyên bố rằng ông ấy mới là người làm tốt nhất.

Sự tương phản này thật lớn lao.

Hơn nữa, việc ông Lâm Nhân cho rằng vấn đề của cuộc chiến Việt Nam không nên được đổ lỗi cho một cá nhân cụ thể càng giúp ông ấy thoát khỏi trách nhiệm.

Và nếu đó chỉ là những lời khen ngợi vô căn cứ, chỉ đưa ra quan điểm mà không có bằng chứng, thì dù là ông Lâm Nhân nói ra đi nữa, cũng không thể khiến ông McNamara cảm thấy quá xúc động được.

Vấn đề nằm ở chỗ, ông Lâm Nhân không chỉ khen ngợi ông McNamara mà còn giải thích rất rõ ràng, chỉ ra một cách chính xác những điểm mà ông McNamara đã làm tốt hơn so với các Bộ trưởng Quốc phòng trước đó.

Những điểm này chính là những điều mà ông McNamara tự hào, và những lời khen ngợi đó thực sự đúng vào điểm then chốt.

Ông McNamara, người có hiểu biết sơ qua về văn hóa Quốc gia Hoa, đã liên tưởng đến câu chuyện cổ tích của Quốc gia Hoa*: “Núi cao, dòng nước gặp được tri âm; con ngựa tài ba gặp được người biết đánh giá năng lực của nó.”

Ông cảm thấy vô cùng biết ơn, không thể diễn tả thành lời.

Lúc này, ông Lâm Nhân đang nghĩ đến một vấn đề khác:

Việc ông McNamara tăng số lượng quân nhân từ 16.000 cố vấn lên đến 535.000 binh sĩ trực tiếp tham gia chiến đấu – nếu là người khác đứng đầu, không tiến hành Chiến dịch Mùa xuân, không tăng quân, thì cuộc chiến sẽ ra sao?

Còn về việc Bộ trưởng Quốc phòng thời Nixon, Melvin Laird, đã giảm số lượng binh sĩ từ 530.000 xuống còn 24.000 trong thời gian ông ta giữ chức…

Điều đó là điều mà ông Lâm Nhân không muốn thấy. Ông vẫn mong rằng các binh sĩ Mỹ sẽ tiếp tục chiến đấu ở tiền tuyến Việt Nam.

Còn về lý do tại sao ông McNamara lại có thể đạt được những kết quả quan trọng như vậy…

Nói chung, một cá nhân rất khó có thể thay đổi được xu hướng chung.

Dù là ông McNamara hay bất kỳ ai khác đứng đầu Bộ Quốc phòng, liệu họ có thể thay đổi được chiến lược của Mỹ ở tiền tuyến Việt Nam và tạo ra những kết quả rõ rệt như vậy không?

Thật sự có thể làm được.

Bởi vì vào năm tới, năm 1968, sẽ xảy ra sự kiện nổi tiếng mang tên Mùa xuân Praha.

Theo lịch sử, ông McNamara sẽ từ chức vào tháng 2 năm sau, trong khi Mùa xuân Praha bắt đầu từ tháng 1 và đạt đỉnh vào tháng 8.

Vào tháng 8, cuộc hành quân trên sông Danube do Liên Xô dẫn đầu đã tiến vào Prague, sự việc này đã gây chấn động toàn cầu qua các bản tin truyền thông. Điều này càng thúc đẩy tình hình Chiến tranh Lạnh đi đến đỉnh cao.

Nếu ông McNamara có thể giữ chức vụ đến tháng 8, tình hình trong dân chúng sẽ thay đổi, và ông Nhà Trắng sẽ có nhiều cơ hội hơn để can thiệp vào vấn đề Việt Nam. Việc tiếp tục tăng cường quy mô quân sự sẽ trở nên khả thi hơn.

Nếu Liên Xô có thể làm như vậy, tại sao chúng ta lại phải im lặng?

Việc Lâm Nhân sẵn lòng tham gia chương trình của ông Big T thay vì ông Cronkite cũng có lý do riêng của nó.

Là một người lính vừa trở về từ chiến trường Việt Nam, ông Big T chắc chắn sẽ đặt ra những câu hỏi liên quan đến cuộc chiến đó, và sẽ chế giễu Nhà Trắng, ông Johnson cùng với ông McNamara.

Đây chính là thời cơ mà ông Lâm Nhân cần tận dụng.

Hơn nữa, chương trình đầu tiên do ông Big T dẫn chương trình sẽ càng làm tăng sự chú ý đối với các quan điểm của ông Lâm Nhân. Những quan điểm đó sẽ gây ra tiếng vang lớn, thu hút nhiều cuộc thảo luận và sự chú ý từ truyền thông.

Đây thực sự là một kế hoạch có tính toán kỹ lưỡng.

Nếu người khác đảm nhận vị trí Bộ trưởng Quốc phòng, dù không xét đến việc duy trì cuộc chiến Việt Nam, điều đó cũng đồng nghĩa với việc Nhà Trắng mất đi một người quen biết quan trọng – người có thể ảnh hưởng sâu sắc đến các quyết định của ông.

Vị trí Bộ trưởng Quốc phòng thực sự rất quan trọng.

Ông McNamara đã hỗ trợ NASA trong việc thu hút nguồn tài chính; một số dự án của Bộ Quốc phòng cũng được giao cho NASA thực hiện, như Dự án Chiến tranh Vũ trụ. Nếu người khác đảm nhận vị trí này, có lẽ điều đó sẽ không xảy ra.

Ngày nay, khi Hoa Kỳ đã dẫn đầu xa trong cuộc đua lên mặt trăng, thì càng ít quan chức nào sẵn lòng nhượng bộ ngân sách và các dự án cho người khác.

Vì vậy, dù nhìn từ góc độ nào đi nữa, Lâm Nhân cũng mong muốn rằng ông McNair Mã Lạp sẽ tiếp tục giữ chức vụ Bộ trưởng Quốc phòng càng lâu càng tốt.

So với các năm trước, Hội nghị Nhà toán học năm nay tại New York đã có một chủ đề thảo luận cụ thể, đó là tác phẩm “Đại số hình học” do Grothendieck mất bảy năm để biên soạn.

Tác phẩm “Đại số hình học” được xuất bản từ năm 1960 đến năm 1967, và đây chính là tác phẩm đã đặt nền móng cho vị trí lịch sử của ông trong lĩnh vực toán học.

Lý do người ta gọi ông là “Giáo hoàng Toán học” chính là bởi vì tác phẩm này.

Sau đó, do sự kiện Mùa xuân Praha và các cuộc biểu tình vào tháng 5 năm sau tại Pháp, Grothendieck đã xa rời Giới Toán học và không còn xuất bản bất kỳ tác phẩm nào nữa.

Thậm chí, vào năm 2010, ông đã viết thư cho sinh viên của mình yêu cầu không được phép xuất bản hay tái bản các tác phẩm của mình, cũng như không được phép truyền tải chúng dưới dạng điện tử.

Có thể nói, trong năm mà tác phẩm “Đại số hình học” được công bố, toàn thế giới Giới Toán học đều đang thảo luận về tác phẩm này.

So với phiên bản “Đại số hình học” trong thời gian gốc, vì Grothendieck đã hiểu biết về Chương trình Langlands từ nhiều năm trước, nên toàn bộ tác phẩm này càng gần với bản thiết kế cho sự thống nhất toàn diện của toán học.

Vì vậy, trong năm nay, Giới Toán học tại Amerika cũng rất muốn nghe quan điểm của Lâm Nhân về tác phẩm “Đại số hình học” và về việc thúc đẩy Chương trình Langlands.

Mặc dù mọi người đều biết rằng Lâm Nhân đang tập trung nhiều hơn vào NASA và vào sứ mệnh đổ bộ lên Mặt Trăng, nhưng Nhà toán học vẫn rất quan tâm đến ý kiến của ông.

Dù sao thì Lâm Nhân cũng chính là người tạo ra “huyền thoại Göttingen”, người được coi là có khả năng suy nghĩ trong bảy ngày tương đương với việc các Nhà toán học khác suy nghĩ trong bảy năm.

Nhà toán học tin rằng chỉ cần những cuộc trò chuyện mang tính cảm hứng cũng có thể mang lại những gợi ý mới mẻ cho mọi người.

Tất nhiên, Lâm Nhân cũng đã không làm thất vọng những kỳ vọng đó; ông đã thông báo trước với Fox rằng trong năm nay, ông sẽ trình bày những thành tựu mới nhất của mình tại các buổi bài giảng, đặc biệt là về bằng chứng chứng minh Giả thuyết Mordell.

Giả thuyết của Mordell cho rằng trên các đường cong trong lĩnh vực số học đại số mà chỉ số khuyết dư lớn hơn 1, chỉ có một số hữu hạn điểm hữu tỉ.

Nói cách đơn giản hơn, đây là một khái niệm liên quan đến “các điểm trên đường cong”. Hãy tưởng tượng những đường cong được vẽ bằng phương trình toán học – chẳng hạn như một vòng tròn (phương trình x + y = 1) hoặc những hình dạng phức tạp hơn. Những đường cong này có thể thuộc loại “đơn giản”, tức là không có lỗ hổng; hoặc thuộc loại “phức tạp”, ví dụ như hình donut hay những hình dạng có nhiều lỗ hổng. Trong toán học, người ta sử dụng “chỉ số khuyết dư” để đo mức độ phức tạp: chỉ số khuyết dư bằng 0 hoặc 1 biểu thị đường cong đơn giản, còn chỉ số khuyết dư lớn hơn 1 thì đường cong đó phức tạp hơn.

Trọng tâm của giả thuyết này là: nếu sử dụng các số hữu tỉ, chẳng hạn như số nguyên hoặc số phân, làm tọa độ để tìm các điểm trên những đường cong phức tạp có chỉ số khuyết dư lớn hơn 1, thì số lượng các điểm có thể tìm thấy chỉ có một số hữu hạn, chứ không phải vô hạn. Ví dụ, một đường cong đơn giản như elip có thể có vô hạn điểm hữu tỉ, nhưng đối với các đường cong phức tạp thì không; luôn tồn tại một giới hạn nhất định.

Tại sao điều này lại quan trọng? Bởi vì nó kết nối giữa đại số, hình học và số học, giúp con người hiểu sâu hơn về những quy luật ẩn sau các con số và hình dạng. Giống như việc chứng minh rằng “các điểm vô hạn không thể xuất hiện một cách ngẫu nhiên”.

Năm nay, hội nghị Nhà toán học được tổ chức tại hội trường của Viện Toán học Courant thuộc Đại học New York. Tiếng reo hò mong đợi của mọi người thậm chí còn ồn ào hơn cả một trang trại nuôi ong. Kể từ khi thông tin được Fox công bố, tất cả các nhà khoa học nổi tiếng trong lĩnh vực Nhà toán học trên khắp nước Mỹ đều đã tập trung tại đây. Ngay cả những người không nghiên cứu trong lĩnh vực này cũng đã chuẩn bị kỹ lưỡng, tìm hiểu sâu về giả thuyết Mordell cùng các bài báo liên quan, để tránh gặp khó khăn trong việc theo dõi các bài thuyết trình học thuật.

Có một tin đồn lan truyền trong cộng đồng Giới Toán học rằng nếu Lâm Nhân tiếp tục theo đuổi con đường này, thì một ngày nào đó, hội nghị Nhà toán học tại New York sẽ trở nên quan trọng hơn cả các hội nghị quốc tế Nhà toán học được tổ chức hàng bốn năm một lần.

Lâm Nhân bước lên bục giảng từ hàng đầu tiên; trên bục chỉ có chiếc micrô và tấm màn đen đã được chuẩn bị sẵn mà thôi.

  Anh ta vỗ nhẹ vào micrô để đảm bảo âm thanh phát ra rõ ràng:

  “Các đồng nghiệp, tôi luôn là giáo sư khoa Toán tại Đại học Columbia, nhưng có lẽ thời gian tôi trao đổi với các bạn còn nhiều hơn cả thời gian tôi dành cho sinh viên của trường này… Điều này khiến tôi cảm thấy hơi xấu hổ. Tôi hy vọng sẽ sớm rời khỏi Nhà Trắng và quay trở lại giới học thuật, để có thể trao đổi nhiều hơn nữa với các đồng nghiệp Giới Toán học.”

  Lời nói mở đầu của Lâm Nhân khiến khán giả dưới sân khấu xôn xao; đây là lần đầu tiên anh ta bày tỏ sự chán ghét đối với Washington và mong muốn trở lại giới học thuật.

  Vì vậy, ngay sau khi anh ta kết thúc, Fox dưới sân khấu lập tức nói lớn: “Giáo sư ơi, Columbia luôn chào đón ngài! Tôi tin rằng nếu hiệu trưởng biết điều này, ông ấy chắc chắn sẽ vui mừng đến mức không thể ngủ được.”

  Trong khi đó, các giáo sư Toán đến từ Princeton thì có vẻ không hài lòng lắm; họ cảm thấy vị trí “thánh địa” của ngành Toán tại Princeton có thể sẽ bị đe dọa.

  “Ha ha,” Lâm Nhân không trả lời trực tiếp, mà tiếp tục nói: “Hôm nay, tôi sẽ trình bày về bằng chứng chứng minh Giả thuyết Mordell, đồng thời cũng sẽ chỉ ra nhiều con đường khác nhau để đạt đến mục tiêu cuối cùng.”

  Khán giả đều nghiêng người về phía trước, thì thầm với nhau.

  Chứng minh Giả thuyết Mordell đã là điều rất phi thường rồi; vậy mà anh ta còn sử dụng nhiều phương pháp khác nhau nữa… Thật xứng đáng là một giáo sư.

  “Đúng là phong cách của một giáo sư – họ luôn có thể làm được những điều mà người khác cho là bất khả thi.”

  “Thật đáng để tôi bay từ Toronto đến đây.”

  Lâm Nhân viết số “3” lên tấm màn đen.

  “Những con đường tích hợp mà tôi sử dụng đều thể hiện sự tương tác sâu sắc giữa lý thuyết số, đại số hình học và các hàm cao cấp… Tôi hy vọng mọi người sẽ tìm thấy những ý tưởng mới về sự thống nhất của toán học trong đó.”

  Nhìn thấy ánh mắt chăm chú của khán giả, Lâm Nhân tiếp tục nói: “Trước hết, hãy xem xét một con đường dựa trên Giả thuyết Shafarevich… Mặc dù nó vẫn chưa được chứng minh hoàn toàn, nhưng nếu chúng ta có thể chứng minh Định lý về tính hạn chế của các nhóm Abel…”

  Thông qua những kỹ thuật của Pachin, chúng ta có thể giản h

Tại đây, đại số hình học cung cấp nền tảng cơ bản: bằng cách sử dụng các phương án nhóm phẳng hữu hạn và nhóm p-chia, chúng ta có thể biến đổi các đối tượng hình học thành các cấu trúc hữu hạn, từ đó tránh được những bài toán tính toán phức tạp liên quan đến định lý Riemann-Roch.”

Anh ấy dừng lại một chút, nhìn quanh khán phòng; Lâm Nhân đã nhận ra rằng hầu hết các Nhà toán học trong khán phòng đều bắt đầu gặp khó khăn trong việc hiểu bài giảng này.

“Tiếp theo, tôi sẽ trình bày ứng dụng của giả thuyết Tate: thông qua tính hữu hạn của các đồng homotop, chúng ta so sánh đồng điệu của các cụm Jacob với hàm chiều cao.”

Hãy tưởng tượng rằng, các biến thể module Siegel đóng vai trò như cây cầu nối, giúp so sánh các đại lượng đo lường với hàm chiều cao “giản đơn”, từ đó xác định giới hạn trên của chiều cao của các điểm hữu tỉ. Nếu vượt qua giới hạn đó, sẽ không còn thêm điểm hữu tỉ nào nữa, và điều này vẫn không mâu thuẫn với tính chất giải tích của hàm L.

“Điều này thể hiện sự kết hợp giữa biểu diễn Galois trong số học và không gian module trong hình học.”

Andrew Wells giơ tay hỏi: “Giáo sư, làm thế nào để sự kết hợp này tránh được tình trạng suy giảm vô hạn? Điều đó không phải là một lập luận tuần hoàn sao?”

Lâm Nhân cười và nói: “Một câu hỏi hay, Andrew. Vào thời điểm này, chúng ta cần áp dụng ý tưởng tiếp cận Diophantine, giống như những gì Harvey đã làm – sử dụng các bất đẳng thức về chiều cao và các kỹ thuật của Vitali để kiểm tra các trường hợp có độ suy yếu thấp.”

“Điều này không phải là một phương pháp đơn lẻ; đó là sự kết hợp của nhiều phương pháp khác nhau: hàm L trong số học, lý thuyết các mô hình hình học, cùng với các phương pháp sàng lọc trong tính toán. Điều này thể hiện tinh thần liên ngành mà Grothendieck đã thể hiện trong cuốn ‘Đại số hình học’ của mình… và đồng thời, nó cũng không chỉ giới hạn trong phạm vi EGA.”

Andrew vẫn cảm thấy còn điều gì đó chưa rõ ràng: “Nhưng liệu giới hạn chiều cao mà bạn đề xuất có thể được tính toán một cách hiệu quả không? Dù sao thì, trọng tâm của giả thuyết Mordell vẫn là tính hữu hạn, chứ không phải con số cụ thể.”

“Tất nhiên,” Lâm Nhân trả lời một cách tự tin, trong đầu anh ấy lại hiện lên những suy luận mà anh đã thực hiện trong thời gian rảnh rỗi: “Bằng cách tinh chỉnh các phương pháp của Bombieri, tôi đã giảm giới hạn đó xuống còn một hệ số log(h), khiến nó có thể được áp dụng trong thực tế.”

“Được rồi, phần vừa rồi là những ý tưởng tổng quát; bây giờ chúng ta sẽ bước vào phần kỹ thuật cụ thể.”

Trước hết, chúng ta sẽ

Cụ thể hơn, đối với các cấu trúc A trên trường số K… Bằng kỹ thuật Zarhin, chúng ta có thể biến (A × A^∨)^4 thành những cấu trúc có mức độ phân cực bằng 1; điều này chính là nền tảng cho toàn bộ bằng chứng được đưa ra. Tiếp theo, để chứng minh tính hạn chế của các cấu trúc này, chúng ta cần xem xét rằng, đối với một giá trị cố định A, tập hợp các cấu trúc isomorph với A là hữu hạn. Việc này liên quan đến các nhóm p-đặc và lý thuyết Hodge trong số học p-adic, cũng như việc tính toán sự thay đổi về độ cao của các cấu trúc đó; từ đó có thể suy luận ra tính hạn chế của các cấu trúc abel.

Sau khi trình bày phương pháp chứng minh của Faltings, Lâm Nhân còn đề xuất thêm hai hướng tiếp cận khác: một hướng dựa trên ý tưởng tiếp cận gần đúng theo Đại số Diophantine, và hướng thứ hai xuất phát từ lý thuyết Hodge trong số học p-adic. Cả hai hướng này đều không yêu cầu kiến thức kỹ thuật chuyên sâu; nghĩa là bất kỳ ai muốn thử nghiệm đều có thể công bố bài báo khoa học. Điều này thực sự là một cơ hội lớn dành cho tất cả mọi người.

Sau suốt một buổi báo cáo khoa học kéo dài nửa ngày, Lâm Nhân đã nói: “Các bạn ạ, khi chúng ta quay lại hành trình chứng minh Giả thuyết Mordell, từ lý thuyết hình học Arakelov, đến các biểu diễn Galois liên quan đến Giả thuyết Tate, rồi đến các phương pháp chứng minh về tính hạn chế của các cấu trúc do Shafarevich đề xuất và kỹ thuật của Pachin, những gì chúng ta thấy không chỉ là sự chinh phục của một định lý, mà còn là sự hòa nhập vĩ đại giữa các lĩnh vực toán học khác nhau. Lý thuyết các dạng tổng quát trong đại số hình học là nền tảng; các hàm L và lý thuyết biểu diễn hỗ trợ toán học số; còn các đại lượng số học liên quan đến độ cao của các cấu trúc thì giúp vượt qua ranh giới giữa vô hạn và hữu hạn. Đây không phải là những chiến thắng riêng lẻ, mà là sự giao thoa giữa các lĩnh vực khác nhau: vẻ đẹp của hình học, sâu sắc của toán học số, và tính chính xác của phân tích hàm số – tất cả những yếu tố này đã cùng nhau góp phần vào việc giải quyết Giả thuyết Mordell. Cuốn ‘Đại số hình học’ của Grothendieck thực sự rất hay; ông ấy đã cho tôi biết rằng, có vô số những nhà toán học đang đóng góp theo cách riêng của mình cho sự thống nhất của toán học. Hôm nay, tôi có mặt ở đây chủ yếu là để khơi gợi sự quan tâm và tham gia của mọi người.” Lâm Nhân cũng đơn giản giải thích về câu chuyện “ném gạch để mời người khác đến xây nhà”. Sau đó, ông tiếp tục nói: “Tôi hy vọng rằng, mọi ng