Nếu gần đây không có bất kỳ thành tựu toán học nào, thì việc chia sẻ những kinh nghiệm và hiểu biết của mình với các bạn trẻ cũng là điều khá tốt.

Dù sao thì lý thuyết “Chim bay và ếch” mà tôi đã đưa ra trước đây dường như cũng được mọi người đón nhận khá nhiều.

Nhưng tôi không phải đang tự khen mình đâu; bản thân tôi cũng chỉ là một người trẻ tuổi, thiếu kinh nghiệm. Đến khi tôi 70 tuổi và nghỉ hưu, lúc đó mới thích hợp hơn để nói về những điều này trong bài phát biểu nghỉ hưu.

Vì vậy, sau khi nghe tin Chen đã đạt được những thành tựu quan trọng trong lĩnh vực giả thuyết Goldbach, tôi đã nói với Harvey Cohen rằng tại sao mình không cũng chia sẻ quan điểm của mình về giả thuyết Goldbach.

Dù sao thì cả hai đều liên quan đến lĩnh vực số nguyên trong toán học, và tôi cũng có một số kiến thức cơ bản. Ngay cả khi phải nói trước công chúng một cách đột ngột, tôi vẫn có thể đưa ra những ý tưởng đáng suy ngẫm.

Nhưng thông tin sau đó đã bị biến tấu; ban đầu tôi chỉ định nói về những suy nghĩ của mình, nhưng qua sự truyền bá của truyền thông, mọi người lại cho rằng tôi đã chứng minh được giả thuyết Goldbach.

Thôi thì, nếu đã nói là chứng minh, thì tôi cũng sẽ làm thử xem sao. Những ngày gần đây, tôi đã thử tiến hành việc chứng minh này.

Giả thuyết Goldbach dạng mạnh khá phức tạp; trong quá trình suy nghĩ, tôi gặp phải nhiều khó khăn, đặc biệt là với phần liên quan đến tổng của hai số nguyên. Tôi ước tính rằng đóng góp của các yếu tố phụ sẽ vào khoảng x/logx, nhưng đóng góp của các yếu tố chính sẽ có mức độ cao hơn nhiều, và việc kiểm soát sai số rất khó khăn. Vì vậy, tôi đành phải chuyển sang chứng minh dạng yếu của giả thuyết Goldbach thay vì dạng mạnh.”

(Từ bài viết năm 2012 trên blog của Terence Tao, “Những hạn chế mang tính cảm hứng trong phương pháp vòng tròn”, có chi tiết giải thích lý do cơ bản khiến giả thuyết Goldbach không thể được chứng minh từ dạng yếu sang dạng mạnh.)

Phía dưới sân khấu, mọi người đều xôn xao; bạn hãy nghe xem, đây có phải là lời nói của con người không?

Bởi vì chính giả thuyết Goldbach dạng yếu cũng đã là một bài toán toán học hàng đầu khiến các nhà toán học phải đau đầu suốt hơn hai trăm năm nay.

“Đúng là phong cách của Rundorf,” Siegel thốt lên, “Anh ấy luôn có thể giải thích một cách nhẹ nhàng và rõ ràng cách giải quyết những vấn đề quan trọng như thế này.”

Ngồi cùng Siegel ở hàng ghế đầu tiên, bên trái là Giáo sư Toán học của Đại học Columbia, Fox, và bên phải là Grothendieck. Các người khác như Harvey Cohen, Andrew Wey cũng ngồi

Anh ấy đã tổ chức một buổi họp tại École Normale Supérieure của Paris, gồm các giáo sư và tiến sĩ chuyên về lý thuyết số. Mọi người đều không được nghỉ phép; chúng ta sẽ bắt đầu các buổi thảo luận ngay khi có bằng chứng mới.

Grotendieck nhếch mép sau khi nghe xong: “Siegel, anh không nghĩ rằng những gì Leonard đang làm giống như việc “làm công việc của con ếch” sao? Ý tôi là, anh ấy có thể vừa làm công việc của “con chim”, vừa làm công việc của “con ếch”, và cả hai lĩnh vực đó đều ở trình độ hàng đầu. Nhưng suốt những năm qua, dường như anh ấy chỉ tập trung vào việc “làm công việc của con ếch”; ngoại trừ Chương trình Leonard, anh ấy chưa từng thực hiện bất kỳ công việc nào tương tự như “con chim”.

So với việc giải quyết các vấn đề cụ thể, tôi thực sự mong muốn thấy Leonard có thể thống nhất các lĩnh vực khác nhau của toán học theo một cách nào đó. Gần đây, trong quá trình viết cuốn “Đại số Hình học”, tôi càng cảm thấy rằng điều này chứa đựng vô số bí ẩn. Việc tôi có thể thực hiện được việc thống nhất đại số và hình học theo ý tưởng của mình trong suốt cuộc đời này đã là điều khiến tôi hài lòng rồi. Nhưng Leonard khác chúng ta; anh ấy còn trẻ, và não bộ của anh ấy dường như cũng hoạt động hiệu quả hơn nhiều. Nếu Leonard dành toàn bộ sức lực cho toán học, tôi tin rằng những điều mà tôi không thể làm được, anh ấy hoàn toàn có thể thực hiện được.”

Giọng nói của Grotendieck rất nhỏ và nhanh; những lời anh ấy nói như thể đang vang lên từ xa, vào tai Siegel.

Đối với một người có trình độ như Grotendieck, những vấn đề như Giả thuyết Goldbach tất nhiên rất ấn tượng, nhưng anh ấy còn mong muốn thấy sự phát triển của những lý thuyết có khả năng thống nhất các lĩnh vực khác nhau của toán học. Theo quan điểm của anh ấy, một lý thuyết mang tính chất khung mạch có thể thống nhất các lĩnh vực toán học riêng biệt rõ ràng là công việc đáng giá hơn nhiều so với việc giải quyết các vấn đề cá nhân.

Siegel lên tiếng bào chữa cho Leonard: “Alexander, Leonard không giống chúng ta; anh ấy chỉ có những khoảng thời gian ngắn ngủi để suy nghĩ về toán học. Nếu anh ấy có thể thoát khỏi công việc tại NASA và tập trung giảng dạy tại Đại học Columbia, tôi tin chắc rằng anh ấy sẽ thực hiện những công việc quan trọng hơn.”

Fox vội vàng nói thêm: “Vậy nên, Giáo sư Siegel, liệu ông có thể giúp thuyết phục Leonard tập trung hoàn toàn vào công việc toán học không? Bất kỳ ai cũng có thể làm công việc tại NASA, nhưng chỉ có Leonard mới có khả năng thống nhất các lĩnh vực khác nhau của toán học.”

Siegel lắc đầu và trong lòng tự nhủ: “Nếu tôi có thể thuyết phục được anh ấy, tại sao tôi lại không

Những thành phố nhỏ ở Đức cũng không hề thích hợp hơn New York để tập trung nghiên cứu đâu.

Thành phố Princeton, nơi có Đại học Princeton, cũng chỉ là một thành phố nhỏ với dân số khoảng ba vạn người; dân số của nó còn ít hơn cả thành phố Göttingen, nơi Đại học Göttingen tọa lạc.

Trong chốc lát, cả ba người đều im lặng; ai cũng biết rằng đây là một mâu thuẫn không thể giải quyết được giữa thực tế và lý tưởng.

Đây không phải là vấn đề có thể được giải quyết bằng những phân tích hòa giải thông thường.

Giới Toán học không có đủ sức mạnh để thuyết phục Nhà Trắng cho phép người đó được thả ra.

Trên sân khấu, Lâm Nhân đã giới thiệu một cách ngắn gọn về sự khác biệt giữa các dạng mạnh yếu của Giả thuyết Goldbach.

Năm 1742, Goldbach đã đưa ra giả thuyết này trong bức thư gửi cho Euler:

“Bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 2 đều có thể được viết dưới dạng tổng của ba số nguyên tố.”

Cách diễn đạt này hơi khác so với hiện nay, bởi vì vào thời điểm đó, Goldbach tuân theo quy ước rằng “số 1 cũng là một số nguyên tố”. Tuy nhiên, ngày nay Giới Toán học không coi số 1 là số nguyên tố nữa; vì vậy, cách diễn đạt hiện đại của Giả thuyết Goldbach là:

“Bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 5 đều có thể được viết dưới dạng tổng của ba số nguyên tố.”

Đây chính là dạng yếu của Giả thuyết Goldbach.

Euler trong thư hồi âm của mình cho rằng giả thuyết này có thể được diễn đạt theo một cách tương đương khác:

“Bất kỳ số chẵn nào lớn hơn 2 đều có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.”

Và ông coi giả thuyết này như một định lý, nhưng bản thân Euler không thể chứng minh được nó.

Giả thuyết mà mọi người thường biết ngày nay thực chất là phiên bản do Euler đề xuất; đây cũng chính là dạng mạnh của Giả thuyết Goldbach.

Thật ra, hai giả thuyết này không hoàn toàn tương đương với nhau.

Hoặc có lẽ chúng tương đương, nhưng chỉ khi một định lý khác được chứng minh, chúng ta mới có thể tìm ra con đường để liên kết chúng lại với nhau.

“Nói về điều này từ lâu rồi… Hãy cụ thể hơn một chút, bắt đầu từ công trình nghiên cứu của Ivan Vinogradov vào năm 1937.

Ivan Vinogradov là một nhà khoa học người Liên Xô Nhà toán học, nhưng không phải Alexander Vinogradov hay Arkady Vinogradov – mặc dù cả hai người này cũng rất nổi tiếng.

Những cái tên này thực sự rất dễ gây nhầm lẫn, mặc dù họ không phải là cùng một người.

Ivan chủ yếu đã đề xuất một phương pháp để ước lượng tổng số các số nguyên tố; những phương pháp kiểm tra song phương mà mọi người thường sử dụng trong nghiên cứu về Giả thuyết Goldbach đều dựa trên nguyên lý này.

Rõ ràng là, trong công trình nghiên cứu trước đó của Chen, phương pháp này đã được sử dụng một cách triệt để nhất có thể. Bây giờ, nếu chúng ta muốn áp dụng phương pháp này để giải quyết các bài toán dạng yếu, thì gần như không thể thành công. Vì vậy, chúng ta cần phải đưa vào một số công cụ mới, đặc biệt là cần tối ưu hóa các đường cong thứ yếu và cải tiến phương pháp lọc lớn, loại bỏ những yếu tố thừa để làm cho các ước lượng trở nên chính xác hơn. Quan trọng hơn nữa, chúng ta không thể chỉ dựa vào những kiến thức trong lý thuyết số phân tích; chúng ta còn cần kết hợp cả nội dung của đại số hình học, thông qua cấu trúc hình học để xây dựng các tổng của các số nguyên tố, và đưa vấn đề đó vào trong các hệ đại số.

Những người đang đứng ở phía sau sân khấu, những Nhà toán học, đã đứng dậy cả rồi. Bởi vì sự kết hợp giữa đại số hình học và lý thuyết số hiện nay chắc chắn là lĩnh vực toán học tiên tiến nhất; đến mức ngoại trừ Lâm Nhân, không ai khác lại thực hiện điều này cả. Như đã đề cập trước đó, giả thuyết Goldbach dạng yếu đã được một Nhà toán học người Peru, tốt nghiệp từ Đại học Princeton, tên là Hilfert, chứng minh. Nhưng tại sao công trình nghiên cứu của ông lại không được giới chú ý? Bởi vì một mặt, bài báo nghiên cứu vẫn chưa được công bố; sau khi ông hoàn thiện ba phiên bản, mọi người đều cho rằng nó có vẻ đúng, nhưng vẫn chưa có ai xác nhận một cách chắc chắn rằng nó hoàn toàn đúng; việc chứng minh của ông cần sự hỗ trợ của máy tính. Mặt khác, vào năm 1937, Ivan Vinogradov đã chứng minh rằng mọi số lẻ đủ lớn đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba số nguyên tố. Trong khi đó, đóng góp của Hilfert chỉ giúp thu hẹp khoảng cách giữa các số lẻ đủ lớn và các giá trị khác mà thôi. Chứng minh của Ivan Vinogradov đã đưa ra khái niệm mới về các hình thức song phương; trong khi đó, Hilfert thì không làm được điều đó. Ông có đóng góp trong một số lĩnh vực cụ thể liên quan đến ước lượng phân tích trong lý thuyết số, nhưng không có đóng góp đáng kể trong những lĩnh vực rộng lớn hơn. Nói tóm lại, công trình nghiên cứu của Hilfert thiếu tính đổi mới.

Hãy đăng bài viết này trên cuốn sách mới nhất nhé! Và Lâm Nhân chắc chắn không đơn thuần chỉ là người sao chép lại công trình của người khác. Việc sao chép một cách đơn giản là vô ích; trong thời đại này, máy tính cũng không thể giúp bạn kiểm chứng những điều đó. Tất cả những người đang có mặt ở đây đều là những Nhà toán học hàng đầu thế giới; họ sẽ không bao giờ công nhận kết quả nghiên cứu của Hilfert đâu.

Đây là những cải tiến mang tính bản chất dựa trên nền tảng của Helfgott; ngay cả khi được đưa vào thời gian và không gian năm 2020, nếu công trình này được thực hiện bởi một nhà khoa học xuất thân từ Princeton, thì nó hoàn toàn có thể giành được Giải Fields.

Công trình này đòi hỏi phải cải thiện các kết quả của Helfgott đến mức chúng có thể được xác minh mà không cần sử dụng máy tính. Cách tiếp cận của Lâm Nhân là áp dụng kiến thức về đại số hình học để xây dựng một “cầu nối” giúp mô hình hóa các số nguyên theo góc độ hình học. Đây là một phương pháp hoàn toàn mới và cũng phản ánh rõ ràng tinh thần của Chương trình Langland trong lĩnh vực toán học hiện đại.

Trong giờ nghỉ trưa, Lâm Nhân đến hàng ghế đầu tiên và được nhóm các nhà toán học hàng đầu vây quanh. Grotendieck nói thẳng ra: “Langdon, tôi biết ngành hàng không vũ trụ rất vĩ đại và là một sự nghiệp cao quý. Nhưng so với toán học, nó dường như không đáng kể chút nào. Tôi không nói rằng nó không quan trọng, chỉ là nó không quan trọng đủ để một bậc thầy như bạn phải dành thời gian cho nó. Những công việc như vậy nên được giao cho những người học toán ứng dụng thôi.”

Lâm Nhân cảm thấy hơi khó chịu, bởi vì bản thân anh ta vốn làm việc trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, và trong nhóm những nhà toán học hàng đầu này, vị trí của anh ta có lẽ còn thấp hơn cả những người làm toán ứng dụng nhiều. Tuy nhiên, may mắn thay, bây giờ anh ta đã trở thành một chuyên gia về số học thuần túy, và thậm chí còn là người giỏi nhất trong nhóm này. Nếu quay trở lại thời gian và không gian năm 2020, anh ta chỉ cần đăng bài báo về những cải tiến này trên Arxiv là có thể tiếp tục con đường sự nghiệp của mình một cách dễ dàng.

Lâm Nhân cười nói: “Toán học là lễ hội của thế giới tâm linh, còn hàng không vũ trụ là những màn pháo hoa rực rỡ của thế giới vật chất. Đối với tôi, cả hai đều rất quan trọng. Giáo sư Alexander, ông biết đấy, cùng một việc, khi do một thiên tài thực hiện hay một người bình thường thực hiện, kết quả sẽ hoàn toàn khác nhau.”

Grotendieck im lặng một lát, rồi thở dài: “À, Langdon, nếu những gì bạn đang làm không phải là hàng không vũ trụ, mà là những công việc khác, chẳng hạn như tranh đấu trong lĩnh vực Nhà Trắng, thì tôi sẽ khuyên bạn nên từ bỏ ngay. Thành thật mà nói, sự kết hợp giữa số học và đại số hình học – từ khi Cao Thác liên kết giữa nghiệm số nguyên và nghiệm có giá trị của các phương trình đa thức đồng nhất, cho đến khi định lý Kronecker-Weber và lý thuyết nhân tử cố gắng sử dụng các vòng đa thức trên số nguyên để thao tác với số học – thực sự là một

Đến khi Richard Dedekind và Heinrich Weber áp dụng các phương pháp đại số vào các mặt phẳng Riemann, họ đã thiết lập sự tương đồng giữa các vùng số và các vùng hàm, từ đó cung cấp bằng chứng đại số cho định lý Riemann-Roch.

Sau đó, tôi cùng Andrew Weil và Jean-Pierre đã hệ thống hóa việc kết hợp giữa lý thuyết số và đại số hình học, mở rộng nghiên cứu sang các điểm hữu tỉ, các vùng số và các vùng hàm.

Và bây giờ, bạn lại tiếp tục mở rộng những ranh giới đó.

Trước hết, trong quá trình chứng minh giả thuyết Phép, bạn đã kết nối các đường cong elip với các dạng modular thông qua định lý module; sau đó, Chương trình Langlands đã đưa ra giả thuyết về mối liên hệ giữa biểu diễn Galois và các dạng tự động; và hiện nay, bạn lại áp dụng các mô hình hình học vào định lý về số nguyên tố.

Tôi luôn cảm thấy rằng, chúng ta chỉ còn thiếu một chút ý tưởng nữa thôi… Một chút linh cảm nhỏ bé ấy, là chúng ta có thể hoàn toàn đưa lý thuyết số vào trong khung lý thuyết đại số hình học.

Langlands ơi, nếu bạn có được ý tưởng gì trong quá trình phóng tên lửa, bạn có thể viết thư cho tôi bất cứ lúc nào để chia sẻ, và tôi sẽ giúp bạn kiểm chứng nó.”

Grothendieck đã nói như vậy… Nếu bạn có ý tưởng gì, tôi sẽ suy nghĩ theo hướng đó… Điều này thậm chí còn có ý nghĩa như là tôi đang tự nguyện trở thành trợ lý của bạn trong công việc nghiên cứu này.

Lâm Nhân gật đầu và nói: “Được thôi, Alexander, mỗi khi tôi có ý tưởng gì, tôi sẽ viết thư cho bạn ngay.”

Siegel bổ sung: “Langlands ơi, phần trước thì không có vấn đề gì cả… Tôi thậm chí còn hối tiếc vì tuổi tác đã cao, dù có rất nhiều ý tưởng nhưng không thể tiếp tục suy nghĩ sâu sắc hơn nữa… Những tia lửa ý tưởng ấy đành phải yên lặng ở đó và dần tắt đi… Những ghi chép của tôi vẫn còn ở Göttingen, nhưng nếu bạn cần, bạn có thể nói với Doering… Nếu Doering cũng đã nghỉ hưu, bạn có thể liên hệ với trưởng khoa Toán học tại Göttingen… Dù là ai đi nữa, họ cũng sẽ cho bạn xem bản gốc các tài liệu của tôi.”

Lý do tại sao bây giờ tôi chưa đưa chúng cho bạn, là vì bạn vẫn đang làm việc tại NASA… Sau khi bạn rời NASA, tất cả các tài liệu đó sẽ thuộc về bạn.”

Lần trước Siegel cũng muốn nói điều này, nhưng lại quên mất…

Lâm Nhân nghĩ thầm: Thật là phải thật xuất sắc mới được… Không cần phải trực tiếp dạy dỗ bạn, không cần phải là người Hoa, thậm chí không cần phải ở Göttingen… Chỉ cần bạn đủ xuất sắc, người lớn tuổi như tôi sẽ tự nguyện để lại các tài liệu đó cho bạn, để bạn trở thành người kế thừa sự nghiệp của mình